Variação de Volume De Um Cilindro (Quando Apenas o Raio Varia).

Considere uma lata de Refrigerante, de altura "H"; e raio "R".

Temos que seu volume é dado pela expressão:
,

e a variação desse volume é dada por:

Sendo que:

E suas derivadas Parciais Em relação ao raio são:

Caixa Metálica

Um fabricante de doce de goiaba, precisa produzir caixas de metal para embalar seu produto. Para isso, dispõe  de chapas de zinco retangular de comprimento e largura iguais a 15 cm e 8 cm respectivamente.

Corta-se um quadro em cada uma das pontas,

afim de que ao dobrar as laterais da chapa de zinco, obtenha-se uma caixa sem tampa.

Qual o tamanho do corte para que o volume da caixa seja o máximo?

Resolução:

Considere a medida do lado do quadrado a ser cortado, como tendo valor x, logo teremos que:

Daí, Obteremos para a caixa as seguintes medidas:

15-2x cm de comprimento;
8-2x cm de largura e
x cm de altura

Logo o volume da caixa será:
V=(15-2x).(8-2x).x
V=(15-2x).(8x-2x²)
V=120x-30x²-16x²+4x³
V=4x³-46x²+120x

Para encontrarmos os pontos críticos deriva-se a  função
V(x)=4x³-46x²+120x
V'(x)=12x²-92x+120

E sua derivada será a função polinomial de segundo grau 12x²-92x+120, que podemos simplificá-la dividindo por 4 obtendo a função equivalente 3x²-23x+30 e assim descobrimos o valor de x pela fórmula de Báskara:

Ao resolvermos a equação, temos como candidatos á ponto de máximo e mínimo da função:

Identificamos o ponto de máximo e mínimo, substituindo os valores encontrados na segunda derivada da função V(x).

Deste modo, temos como valor máximo da função o ponto V(5/3), e o ponto V(6) valor mínimo da função.